Ὁ χρόνος ΙΙΙ

Χρόνια σας πολλά.

Εὔχομαι νὰ σάς βρεῖ νεκροὺς ὁ καινούριος χρόνος.

Εὔχομαι δυστυχία.

Ἡ ἐλεγεία του π

Φαντάζομαι ὅλοι μας, ἔχουμε ἀκούσει γιὰ τὸ π. Τὸ π, εἶναι ἕνας πραγματικὸς ἀριθμός. Οἱ περισσότεροι θὰ ποῦν ὅτι εἶναι τὸ 3.14. Κάποιοι ἀπὸ αὐτοὺς, ξέρουν ὅτι τὸ 3.14 εἶναι ἁπλὰ μιὰ προσέγγιση ἑκατοστοῦ στὸ π. Ἀκόμα λίγότεροι γνωρίζουν ὅτι τὸ π δὲ μπορεῖ νὰ γραφεῖ ὡς κλάσμα. Ἕνα μεγάλο μέρος τῶν ἀνθρώπων γνωρίζει ὅτι τὸ π, εἶναι ὁ λόγος τῆς περιφέρειας τυχὸντος κύκλου, πρὸς τὴ διαμετρό του. Καὶ αὐτὸ εἶναι φυσικὰ μιὰ γεωμετρικὴ προσέγγιση τοῦ θέματος, ὅμως εἶναι ὁλόκληρο θεώρημα, καθὼς πρέπει νὰ ἀποδειχθοῦν τὰ ἐξῆς: Ὅτι ἡ περιφέρεια τοῦ κύκλου ἔχει μῆκος πεπερασμένο, καὶ δεύτερον, ὁ λόγος της πρὸς τὴ διάμετρο, παραμένει σταθερὸς. Τὸ δεύτερο εἶναι πιὸ εὔκολο. Κι ὅλα αὐτὰ ἰσχύουν βέβαια στὴν εὐκλείδεια γεωμετρία.

Ἐγὼ θὰ προτιμήσω τὴν ἀναλυτικὴ προσέγγιση τοῦ θέματος. Τὸ π, ὡς γνωστὸ σχετίζεται μὲ τὴν τριγωνομετρία. Ἄρα πρέπει νὰ ὁρίσουμε τὶς τριγωνομετρικὲς συναρτήσεις ποὺ σχετίζονται ἄμεσα μὲ ἀυτό: Τὸ ἡμίτονο (sinus, sin) καὶ τὸ συνημίτονο (cosinus, cos). Μὴν ξεχνάτε, ἠ γεωμετρία εἶναι ἀπέξω:



Οἱ παραπάνω σειρὲς, ποὺ εἶναι καὶ οἱ επίσημοι ὁρισμοὶ τῶν τριγωνομετρικῶν ἀριθμῶν, δείχνουμε ὅτι συγκλίνουν ὁμοιόμορφα στὰ συμπαγῆ διαστήματα τῶν πραγματικῶν ἀριθμῶν καὶ, εἶναι λείες συναρτήσεις, καὶ μὲ παραγώγιση ὅρο πρὸς ὅρο συμπαιρένουμε ὅτι (sin)'(x) = cos x, και (cos)'(x) = -sin x.

Με χρήση στοιχειώδους διαφορικοῦ λογισμοῦ δείχνουμε τὶς θεμελιώδεις τριγωνομετρικὲς ταυτότητες:





καὶ σημειώστε ὅτι οἱ τριγωνομετρικοὶ ἀριθμοὶ εἶναι ἀπολύτως μικρότεροι ἢ ἴσοι τῆς μονάδας.

Ἀκόμα, cos0 = 1, sin0 = 0 καὶ λόγω αὐτοῦ, sin x > 0 και cos x > 0.5 γιὰ μικροὺς θετικοὺς ἀριθμοὺς x.
Θὰ δείξουμε ὅτι τὸ συνημίτονο ἔχει θετικὴ ρίζα: Αν cos x > 0 για κάθε x > 0, τότε τὸ ἠμίτονο εἶναι γνησίως αὐξουσα συνάρτηση στὸ θετικὸ ἠμιάξονα, καὶ ἐφαρμόζοντας τὸ θεώρημα μέσης τιμῆς τοῦ διαφορικοῦ λογισμοῦ γιὰ τὸ συνημίτονο στὸ διάστημα [x,y], με 0 < x < y, θὰ πάρουμε ὅτι ὑπάρχει ξ μεταξὺ x και y ὥστε

2 ≥ cos x - cos y = sin ξ (y - x) > sin x (y - x)

ποὺ εἶναι ἄτοπο γιὰ μεγάλες τιμὲς τοῦ y. Ἄρα, λόγω συνέχειας, ὑπάρχει ἕνας ἐλάχιστος θετικὸς πραγματικὸς ἀριθμὸς π/2 ὥστε cos(π/2) = 0. Τὸ διπλάσιό του, ὁρίζεται νὰ εἶναι τὸ π.

Ἐπίσης εὔκολα προκύπτει, ὅτι sin(π/2) = 1, καὶ ἄρα cos π = -1, sin π = 0, cos 2π = cos 0, sin 2π = sin 0. Ἐφαρμόζοντας τὶς βασικὲς τριγωνομετρικὲς ταυτότητες παίρνουμε ὅτι οἱ τριγωνομετρικοὶ ἀριθμοὶ εἶναι περιοδικὲς συναρτήσεις μὲ ἐλάχιστη περίοδο 2π.

Πάντως ἀν ρωτήσεις ἐμένα, θὰ σοῦ πῶ, πὼς π εἶναι ἁπλὰ τὸ blog μου.

Ὁ χρόνος, ΙΙ

Κι ὅλος ὁ κόσμος ζοῦν χριστούγεννα, καὶ τρέχουν ἐδῶ κι ἐκεῖ. Καὶ τὰ λαμπάκια στὰ δέντρα τὰ πλαστικὰ καὶ τὰ μπαλκόνια τὰ τσιμεντένια, ὁρίζουν τὴν ἀλήθεια ποὺ θὰ θέλαμε, ἢ ποὺ μᾶς λείπει. Καὶ τὸ φεγγάρι –που ἁπλὰ δὲ μπορεῖς νὰ κάνεις χωρὶς αὐτό– ξαπλώνει στὴν ταράτσα τῆς ἀπέναντι πολυκατοικίας.

Κι ὅλος ὁ κόσμος ζοῦν χριστούγεννα, καὶ εἶναι σὲ κάποιο σπίτι. Ἐγὼ εἶμαι στὸ δικό μου σπίτι. Ὅλη μέρα σήμερα ἄκουγα μπαλάντες τοῦ '80, καὶ τὶς φόρτωνα ἕνα σωρὸ ἀναμνήσεις. Καὶ εἶμαι στὴ δική μου ἱστορία. Δέκα χρόνια περάσανε, καὶ πέσανε πάνω μου μ' ἕνα τηλέφωνο, ποὺ τὸ σήκωσα μέσα ἀπό τὸν ὕπνο μου. Κι ἄκουσα μιὰ φωνὴ που κάποτε μ' ἀγαποῦσε, θαρρῶ. Χάρηκα, μὰ ἡ αἴσθηση προστατευμένη ἐκατέρωθεν.

Καὶ πάλι μόνος· τραγικά μόνος, νὰ ἐλπίζεις καὶ να φοβᾶσαι. Κι ὅσο πιὸ μόνος αἰσθάνομαι, τόσο περισσότερο θέλω νὰ κλείνομαι στὸν ἐαυτό μου, γιατὶ τότε εἶναι ποὺ ἐκτίθενται οἱ εὐαίσθητες πτυχές μου. Καὶ αὐτὲς δὲ θέλω νὰ τὶς συναντοῦν οἱ ἄνθρωποι, γιατὶ εἶναι αἰχμηροὶ καὶ τὶς πληγώνουν. Ξέρεις πόσες φορές σοῦ χαμογέλασα, καὶ μέσα μου ἔλιωνα στὸ κλάμμα γιατὶ δὲν ἤθελα νὰ σοῦ πω πόσο με πλήγωνες. Γιατὶ δὲν εἶχε νόημα. Γιατὶ φοβόμουν ὅτι θὰ μὲ ἀπορρίψεις.

Κι ὁ κόσμος εὔχονται χρόνια πολλὰ, νὰ ζήσεις. Οὐαὶ κι ἀλοίμονο. Καὶ λιώνεις μέσα σου κι ἔξω εἶσαι βράχος. Καὶ ἔπεσα πάνω σου, με ἕνα μήνυμα, ματάκια μου ὅμορφα. Κι ἔγινα χιλιάδες κομμάτια ὁ βράχος· ἄμμος τὰ θρύψαλα. Κι ὅμως πάλι γέλαγα. Καὶ ἡ αἴσθηση ἀπροστάτευτη, στὸ ἔλεος τοῦ γυαλιοῦ. Κι ἐσὺ ἂς δήλωνες μαλακὸς σὰν τὸ σφουγγάρι.
Καὶ τελειώνει ἡ ὥρα, κι ἀλλάζει ἡ μέρα. Κι ἀλλάζει ἡ μοναξιά, κι ἔρχεται ἡ ἀπόγνωση.

Ὁ χρόνος

Καὶ βέβαια δίνω πάντα ραντεβού μὲ τὸ βράδυ, στὸ σπίτι. Σήμερα ἔκανα ἀπόψυξη στὸ ψυγεῖο καὶ γύρισα καὶ μάζευα μιὰ λίμνη νερά, δάκρυα τοὺς λιωμένους πάγους, ποὺ ἔλεγα τὴν ἱστορία στοὺς τοίχους μου, και ἔπεφταν φύλλα οἱ μπογιὲς καθὼς ὑποκλίνονταν στὴ μοναξιὰ τὴ μεγαλοπρεπῆ. Τὴν ἀδυσώπητη ποὺ τρώει τὸν γιατρὸ τῶν πάντων, χρόνο. Καὶ ἀφήνεται ἡ ψυχὴ ἀσθενὴς καὶ ἡ θλίψη ἱσχυρή. Καὶ τὸ βράδυ μὲ ἀγκάλιαζε κι ἐρωτοτροποῦσε μαζί μου γιὰ νὰ μοῦ ὀξύνει τὶς ἐξαρτήσεις, καθὼς μοῦ θύμιζε τοὺς λαμπεροὺς ἀπόντες τῆς ζωῆς μου. Ποὺ πάντα πλαστογραφοῦσα μιὰ σκέψη, γιὰ νὰ δικαιολογήσω τὴν ἀπουσία. Μὰ ὁ ἀπὼν, θὰ μένει πάντα ἀπὼν, κι ἐσὺ θὲς νὰ ἀγαπήσεις τὸσο αὐτὸν ὅσο καὶ τὴν ἀπουσία του.

Ἡ σκέψη ἀναπαράγει τὸν ἐαυτό της μὲ τρόπο γκρίζο· μὲ τὴν ἴδια ἀγωνία ποὺ ἡ ἡχὼ ρωτάει ἂν εἶσαι ἑδῶ. Και ἐσὺ ἔχεις πάψει νὰ εἶσαι ἐδῶ, ἐδῶ καὶ καιρὸ. Θὰ σὲ ἀφήσω νὰ ζεῖς μέσα μου, γιατὶ μόνο αὐτὸ μπορῶ, γιατὶ μόνο αὐτὸ δὲν πονάει, ἢ ἔστω πονάει λιγότερο.

Σ' ἀγαπῶ, ἀλήθεια.
Σ' ἀγαπῶ καὶ δὲ σὲ θυμᾶμαι.
Σ' ἀγαπῶ καὶ δὲ σὲ ξέρω.
Σ' ἀγαπῶ καὶ φοβᾶμαι.

Τὸ περίπτερο

Ἀκόμα κι ἂν δὲ συνέβη τὸ ἀπροσδόκητο,
σ' εὐχαριστῶ γιὰ τὴ συγκίνηση.
Κι εἶναι νὰ μείνει μέσα μου,
ἐσὺ ποτέ νὰ μὴν τὸ μάθεις

Πᾶς μὲ πρόσχημα μιὰ καλησπέρα,
καὶ ἀφορμὴ δυὸ μῆλα στὸ χέρι
καὶ αἰτία ἕνα χαμόγελο
καὶ λὲς πὼς εἶδα φῶς καὶ πέρασα,
μὰ ἀλήθεια εἶδες φῶς
καὶ πέρασες νὰ μείνεις

Ἕνα ἀστέρι πέφτει

Ἀπόψε θέλω νὰ κάνω μιὰ εὐχή, γιὰ κάτι ποὺ θέλω πολύ.
Γιατί πιστεύω σὲ αὐτό.
Ἀπόψε θέλω νὰ κάνω μιά εὐχή, καὶ νὰ βγεῖ ἀληθινή.
Γιατὶ θὰ εὐτυχίσω μ' αὐτό.
Ἔχω καιρό νὰ εὐχηθῶ, καὶ ὑπήρξα καλὸς καὶ ἀθώος.
Πέρασε ἡ χρονιὰ καὶ πέρασα πολλά.
Μπορῶ νὰ ἔχω μιὰν εὐχή;

Ἕνα χαμόγελο ποὺ εἶναι σὰ νὰ ἀνατέλλει ὁ ἥλιος στὸ πρόσωπο,
θέλω νὰ λάμπει γιὰ μένα, ἀλήθεια.
Μπορῶ νὰ ἐλπίσω σὲ αὐτό;

Δῶσε μου λίγο δικαίωμα νὰ ἐλπίσω,
καὶ θὰ κάνω τὰ πάντα.
Ὅπως πάντα.

Χαμογελάει

Ἀκριβῶς ὅπως οἱ νεκροὶ στὰ φέρετρα, ἁπλὰ γιὰ νὰ εἶναι ὄμορφος.

Spooked Spells

Ὅλη ἡ ζωὴ ἕνα video game ἂς ἤτανε!