Ἡ ἐλεγεία του π

Φαντάζομαι ὅλοι μας, ἔχουμε ἀκούσει γιὰ τὸ π. Τὸ π, εἶναι ἕνας πραγματικὸς ἀριθμός. Οἱ περισσότεροι θὰ ποῦν ὅτι εἶναι τὸ 3.14. Κάποιοι ἀπὸ αὐτοὺς, ξέρουν ὅτι τὸ 3.14 εἶναι ἁπλὰ μιὰ προσέγγιση ἑκατοστοῦ στὸ π. Ἀκόμα λίγότεροι γνωρίζουν ὅτι τὸ π δὲ μπορεῖ νὰ γραφεῖ ὡς κλάσμα. Ἕνα μεγάλο μέρος τῶν ἀνθρώπων γνωρίζει ὅτι τὸ π, εἶναι ὁ λόγος τῆς περιφέρειας τυχὸντος κύκλου, πρὸς τὴ διαμετρό του. Καὶ αὐτὸ εἶναι φυσικὰ μιὰ γεωμετρικὴ προσέγγιση τοῦ θέματος, ὅμως εἶναι ὁλόκληρο θεώρημα, καθὼς πρέπει νὰ ἀποδειχθοῦν τὰ ἐξῆς: Ὅτι ἡ περιφέρεια τοῦ κύκλου ἔχει μῆκος πεπερασμένο, καὶ δεύτερον, ὁ λόγος της πρὸς τὴ διάμετρο, παραμένει σταθερὸς. Τὸ δεύτερο εἶναι πιὸ εὔκολο. Κι ὅλα αὐτὰ ἰσχύουν βέβαια στὴν εὐκλείδεια γεωμετρία.

Ἐγὼ θὰ προτιμήσω τὴν ἀναλυτικὴ προσέγγιση τοῦ θέματος. Τὸ π, ὡς γνωστὸ σχετίζεται μὲ τὴν τριγωνομετρία. Ἄρα πρέπει νὰ ὁρίσουμε τὶς τριγωνομετρικὲς συναρτήσεις ποὺ σχετίζονται ἄμεσα μὲ ἀυτό: Τὸ ἡμίτονο (sinus, sin) καὶ τὸ συνημίτονο (cosinus, cos). Μὴν ξεχνάτε, ἠ γεωμετρία εἶναι ἀπέξω:



Οἱ παραπάνω σειρὲς, ποὺ εἶναι καὶ οἱ επίσημοι ὁρισμοὶ τῶν τριγωνομετρικῶν ἀριθμῶν, δείχνουμε ὅτι συγκλίνουν ὁμοιόμορφα στὰ συμπαγῆ διαστήματα τῶν πραγματικῶν ἀριθμῶν καὶ, εἶναι λείες συναρτήσεις, καὶ μὲ παραγώγιση ὅρο πρὸς ὅρο συμπαιρένουμε ὅτι (sin)'(x) = cos x, και (cos)'(x) = -sin x.

Με χρήση στοιχειώδους διαφορικοῦ λογισμοῦ δείχνουμε τὶς θεμελιώδεις τριγωνομετρικὲς ταυτότητες:





καὶ σημειώστε ὅτι οἱ τριγωνομετρικοὶ ἀριθμοὶ εἶναι ἀπολύτως μικρότεροι ἢ ἴσοι τῆς μονάδας.

Ἀκόμα, cos0 = 1, sin0 = 0 καὶ λόγω αὐτοῦ, sin x > 0 και cos x > 0.5 γιὰ μικροὺς θετικοὺς ἀριθμοὺς x.
Θὰ δείξουμε ὅτι τὸ συνημίτονο ἔχει θετικὴ ρίζα: Αν cos x > 0 για κάθε x > 0, τότε τὸ ἠμίτονο εἶναι γνησίως αὐξουσα συνάρτηση στὸ θετικὸ ἠμιάξονα, καὶ ἐφαρμόζοντας τὸ θεώρημα μέσης τιμῆς τοῦ διαφορικοῦ λογισμοῦ γιὰ τὸ συνημίτονο στὸ διάστημα [x,y], με 0 < x < y, θὰ πάρουμε ὅτι ὑπάρχει ξ μεταξὺ x και y ὥστε

2 ≥ cos x - cos y = sin ξ (y - x) > sin x (y - x)

ποὺ εἶναι ἄτοπο γιὰ μεγάλες τιμὲς τοῦ y. Ἄρα, λόγω συνέχειας, ὑπάρχει ἕνας ἐλάχιστος θετικὸς πραγματικὸς ἀριθμὸς π/2 ὥστε cos(π/2) = 0. Τὸ διπλάσιό του, ὁρίζεται νὰ εἶναι τὸ π.

Ἐπίσης εὔκολα προκύπτει, ὅτι sin(π/2) = 1, καὶ ἄρα cos π = -1, sin π = 0, cos 2π = cos 0, sin 2π = sin 0. Ἐφαρμόζοντας τὶς βασικὲς τριγωνομετρικὲς ταυτότητες παίρνουμε ὅτι οἱ τριγωνομετρικοὶ ἀριθμοὶ εἶναι περιοδικὲς συναρτήσεις μὲ ἐλάχιστη περίοδο 2π.

Πάντως ἀν ρωτήσεις ἐμένα, θὰ σοῦ πῶ, πὼς π εἶναι ἁπλὰ τὸ blog μου.